一叶一婆娑,一步一莲华:《集异壁之大成》阅读笔记及杂谈(三)

一叶一婆娑,一步一莲华:《集异壁之大成》阅读笔记及杂谈(三)

有关形式系统与推理的思考

丑客

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一、阿基里斯与龟:二部创意曲对话

1、阿基里斯与乌龟及怪圈的悖论

阿基里斯坐在龟壳上,乌龟不让阿基里斯坐在龟壳上。阿基里斯偏偏要坐在龟壳上,乌龟就是不让阿基里斯坐在龟壳上。阿基里斯就是偏偏要坐在龟壳上……(后面省略一千五百字)

巴赫一共写作过三十首创意曲作品,十五首二部创意曲,十五首三部创意曲。二部创意曲自然是指二声部“创意曲”。第二篇对话以二部创意曲为题,又叫“乌龟说给阿基里斯的话”。所以这一段的对话当中只有乌龟和阿基里斯两个声部进行。(实际上侯世达有把自己作为叙述者置于对话当中,不过他主要是以一个旁听者的身份,并没有加入对话,所以可以忽略不计)。

对话以乌龟和阿基里斯的比赛结束之后开始,阿基里斯还是追上了乌龟,并且坐在了乌龟壳上面。两位就这样一上一下开始了对话。他们依然在以芝诺的悖论为题进行讨论,主要是芝诺的两分法悖论——“因为在运动物体到达目的地之前,必须先要抵达距离目的地之一半的位置,而这个一半的距离可以无限地二分下去所以到最后就变成了要在有限的时间里面通过无限的距离这是做不到的。”

中国古代的庄子有一个与之类似的说法,估计很多人都已经耳熟能详了:“一尺之棰,日取其半,万世不竭。”——《庄子·天下篇》。

但是这个两分法悖论不过只是一个引子,他们要讨论的主题其实并不是这个悖论,但是却需要这个悖论来作为一个类比。之后面对的形式系统问题其实和这个悖论所表示的内容有些相类似。于是乌龟和阿基里斯的对话自然而然的就说到了欧几里得几何的问题上面来。

欧几里得的《几何原本》当中,开篇就二十三条定义、五条公设和五条公理。乌龟拿来跟阿基里斯讨论的是《几何原本》当中的第一条命题证明——在一个已知有限直线上做一个等边三角形。命题证明的倒数第二条说:等于同量的量彼此相等。由于这个等边三角形是在两个圆的交叉处画出来的,也就是说三条边是两个等圆的半径,所以以已知直线的长度作为半径,画出两条长度都等于已知直线的边,于是得到等边三角形,任意两边彼此相等。

整个第一命题的证明都很完整,逻辑也非常明了。不过乌龟只截取了其中的三个步骤放到一起,这就出现了一个很有意思的情况。三条步骤分别是:

       1同等于一物的彼此亦相等。(A)

       2这个三角形的两边同等于一物。(B)

       3这个三角形的两边彼此相等。(Z)

看到现在为止好像还看不出有什么问题,芝诺的两分法悖论和欧几里得的第一证明题之间有什么关系呢?乌龟接着问阿基里斯,如果有人认为前两条定理为真命题,而不认可第三条与前两条之间的逻辑必然关系会如何?能不能让阿基里斯提出一个证明来让乌龟接受以靠第一第二条可以推出第三条定理。

于是阿基里斯给出了一个说法,即如果A和B为真,则Z必为真。于是乌龟把阿基里斯补充的这条定理加了进来,就变成了如下这样:

       1同等于一物的彼此亦相等。(A)

       2这个三角形的两边同等于一物。(B)

       3如果(A)和(B)都为真则(Z)必为真。

       4这个三角形的两边彼此相等。(Z)

乌龟依然不认为(Z)定理和前面四条证明之间有足够紧密的逻辑联系,它问阿基里斯,如果继续这样追问下去的话,又该如何证明,阿基里斯只能再给出一条证明加进去:如果(A)、(B)、(C)都为真则(Z)必为真。于是证明如下:

       1同等于一物的彼此亦相等。(A)

       2这个三角形的两边同等于一物。(B)

       3如果(A)和(B)都为真则(Z)必为真。(C)

       4如果(A)、(B)、(C)都为真则(Z)必为真(D)

       5这个三角形的两边彼此相等。(Z)

随后侯世达算是出现在了对话当中:“叙述者由于家中有急事不得不暂时离开了这一对,然而几个月后回来,他们还在纠结这个问题……”相信应该已经有人看出来了那个两分法悖论和下面的欧几里得整命题之间的关联。乌龟只要反复问同一个问题,在到达最后结论之前的证明就可以无限地增加。以至于最后阿基里斯写笔记写的都快拿不动笔了。

也就是说如果把一个证明题看成是一段距离,得出的结论就是到达终点的话,那么当中的证明就如同是两分法悖论当中的那个“中间点”。那么在到达结论的过程当中有无限多个证明,所以实际上最后是达不到结论的,那么证明(运动)就不存在了。

那么在之后的论述篇章当中,侯世达也给出了他的问题:“文字和思维是否遵循形式系统?”(这个答案其实不太好说,考虑到之前的笔记当中已经提到的文字本身具有着歧义性的情况来看,这很有可能是又一个“怪圈”。)

联想到之前两篇笔记关于“怪圈”的内容,所有尝试对“不可证”的证明行动最后都有可能会形成一个“怪圈”。这个“怪圈”并不是回到源头,而是在证明的过程当中不断的绕圈子,从提出“如何证明这个结论”的这个问题开始,就是一个“怪圈”。之后夹杂在这个提问和结论中间的就是无限循环的“尝试证明”,有点类似于之前那个关于WJU形式系统的谜题,人类心智和计算机面对这个问题的差别。我们会选择跳过产生循环证明的部分,直接用自己“懵懂”的直觉抵达结论。这个跳过的步骤计算机做不到,所以计算机就会陷入无限循环当中出不来。这个跨出形式系统的行为来自于心智当中的“自我意识”,也就是说认识到自己的行为在做无用功,而计算机是不可能做到的。它不会意识到自己在没有意义的反复运算。如果说这里就是人工智能诞生的分界线的话,那么也许可能真的没有办法真正达到让计算机心智觉醒的程度,因为当中那个可以无限二分的“怪圈”证明部分已经给出了否定的答案(到目前为止应该是这样,但是这只是一条思路……可能还有别的……)。

2:p与q的形式系统

书里作者又给出了第二个形式系统题目来给我们玩,这个pq系统就是第二个题目。整个系统只有三个符号:p、q、—。侯世达说,第二个系统当中存在着无穷多条公理,所以不能一一列举,需要用另一种方法来描述。而且类似于WJU系统,实际上可能所有的形式系统都存在一个问题,也就是说作为推导基础的“公理”不可证的问题。推导证明公理的情况就如同上面那篇对话当中,乌龟和阿基里斯了解到的那个问题——“公理的证明当中存在着无限多个步骤以至于最后没法证明。”

所以作者说,只能放弃证明的方式,转而用下定义的方法直接给公理一个判定,这样才可以得到一个明确的判定过程。(否则用证明的方法来写,这玩意就没法玩了。)书中给出这个形式系统的定义是:

    只要x仅由一串短杠组成,那么x—pxq—就是一条公理。

附加要求是x必须代表同一串短杠。比如说“— — —q— —p—”那么“x”就可以替换成“— —”,就又得到了“x—qxp—”。作者说这个表达式本身并不是一条公理(pq系统当中是没有“x”这个字符的),但是它更像是一个所有公理的模式,于是这个表达式可以被叫做公理模式。

然后这个pq系统的生成规则只有一条:

    假设x、y和z都代表包含短杠的特定的符号串,并且假设“xpyqz”是一条已知的定理,那么“x—pyqz—”就是一条定理。

比如说让x是“—”,y是“— —”,z是“— — —”,那么通过这条规则就能得到:

    如果“—q— —p— — —”是一条定理,则“— —q— —p— — — —”也是一条定理。

到目前为止,这个形式系统的题目稍微有些云里雾里的,不过结合之前的那个WJU的形式系统来看,可能会稍微明白一点。

首先第一条,这两个都是形式系统,那么形式系统包含的三元素就肯定是一样的,也就是说这个系统由三个部分组成,即:公理、规则、定理。这两个形式系统的目的都是通过公理和生成规则来得到一条一条的定理(数学当中证明题的那种)。那么这里的两个形式系统,为了更加直观,所以采用了字符串的形式,把公理比作一个字符串,然后通过给出的生成规则,得到一条全新的字符串,而这个字符串就是“定理”。(作者自己说,这个形式系统题目其实对于数学家和逻辑学家来说并不是多重要,它只不过是为了讲述清楚书里的很多概念而发明出来作为例子的)。

生成规则的陈述虽然在“一个字符串是否是定理”和“另一个字符串是否是定理”之间生成了因果关系,但是生成规则对于字符串本身是不是定理并没有给出“判定”(这个给出判定的问题应该才是整个大段落的重点问题,但是要接触到这个核心的话,还得在表面的迷宫里多走几圈。)

面对这两个形式系统,在进行题目操作的时候,一般来说作为人类心智的判断,我们一定会已经注意到了一些关系,这些关系是给出的公理和生成规则当中总结出来的。比如说:在WJU系统当中我们可以确定的是不论生成什么字符串,这个字符串必然以W作为开头。那么在pq系统当中我们也可以总结出类似的规律,比如说短杠的字符串始终有三个部分,三个部分中间以p和q划分出来。

为什么作者一直在用字符串来做形式系统的例子?这个做法看起来有些让人摸不着头脑,作者在书中给出了自己的说法:“在继续讨论形式系统时,请把这一点记在心里:‘形式’的概念会变得更复杂、更抽象。所以我们恐怕得多想一下‘形式’这个词的意义。

再看一遍前面给出来的例子:“ 如果“—p— —q— — —”是一条定理,则“— —p— —q— — — —”也是一条定理。”注意一下短杠之间的数量,换成加法可能会好理解一点,一条短杠加两条短杠等于三条短杠。所以两条短杠加两条短杠等于四条短杠。通过生成规则的x、y、z分别代表不同的短杠来获得定理,这个判定标准是能不能形成正确的加法等式。要让两个定理之间的因果关系成立,那么必须得到正确的“加法”字符串……

之前尝试了一下x代表“— —”、y代表“— — —”、z代表“— — — —”,结果如图:

作者给出的答案是:“是否是定理的标准,是前两组短杠加起来是否等于后一组短杠(或者情况也可以反过来)。要知道为什么这是正确的标准,首先要看一下公理模式。显然它只制造满足这个加法标准的公理。”这就是之前做判定时候出现的问题了,也就是说要让公理有意义,x、y、z代表的短杠字符串必须是有关联的。之前做题时候尝试的2、3、4显然就对不上号了因为2加3不等于4,而如果把4变成5,那么这个字符串倒是成立了。

 而且通过生成规则可以确定,两个字符串之间的关系是有关联的,第一个定理满足条件,第二个也就能够满足条件没有例外。反之也是如此,套用原文的话说:“这条规则使加法标准成了定理的一个遗传特性:任何一条定理都把这个特性传给由它产生的定理。这就证明了为什么假发标准是正确的。

这里还要引用原文的一段话:“顺便提一下,我们有一个关于pq系统的事实,这一事实使我们可以有把握地说pq系统有一个判定过程,甚至在找到加法标准之前就可以这么说。这个事实是:pq系统没有因为加长规则和缩短规则这两种相反的力量而复杂化。它只有加长规则。对于任何一个只告诉我们如何从较短定理得到较长的定理,而永远不会反过来的形式系统,其定理都有一个判定过程。”所以这里应该是最值得注意的地方,从之前那篇幽默的对话一直到这个pq形式系统的例子最重要的问题就在于这个“判定”的问题。这里原作者自己说了他假设有一个判定公理的判定过程,否则后面没法继续了。

暂且先把公理证明问题放一边,作者认为一个有效的形式系统,其产生的定理进行判定的时候,假设它和系统当中的公理相同,那么证明就算完毕了。假如不是的话,这条定理在这个系统之下必然可以在生成规则当中找到对应,然后倒推回去,到这个定理(字符串)的上一个定理的时候,这个倒推出来的定理必然要比前者简洁。(然而这个过程的结果就是根据这个形式系统倒推出来的定理越来越少越来越短——是不是就回到了芝诺的那个两分法悖论上面去了?完全一样,不断二分越来越短的路程,和那个倒推出来越来越短的字符串,二者有异曲同工之妙)。

好在这个过程不会是无限的,要么最后得到证明,要么最后证伪(因为给出的字符串终究还是有限的,不会跑出来无穷小量这种玩意儿……然而也不好说,因为这里已经有假设好的条件规避这个问题了)。

下一段内容提到了一个截然相反的规则,那一段的题目就叫“自底向上之别于自顶向下”。往公理倒推的缩短规则,和反向的加长规则。如果在形式系统当中只有单一的一个规则的时候,这就没什么意思了,但如果存在着一个两者皆有的形式系统,那么这个形式系统就存在了某种魅力(可能会是一种让人觉的形式系统自身具有某种推动力的感觉,因为随着推导过程的不断继续,证明出来的定理或长或短,这就会让人不自觉的想要联想那些定理之间更深层次的关系,而单一性质的形式系统总部会让人有这种想要深入的感觉)。

3:一点主观的看法

这里我想特别提一下关于公理证明的问题的一点自己的有偏颇的主观看法,相信有人已经注意到了,对于公理的判断我们一直在尝试回避和跳过。问题出在哪里?就出在公理作为基础的不可证问题。回溯到上一篇笔记当中提到的关于第三次数学危机当中,集合论的性质。一个包含了无限元素的合集如何证明它当中的每一个元素都属于这个集合?

反观包括欧几里得在内的几乎所有的公理系统,对于公理的证明都要求做到极致的简洁(欧几里得五大公设的第五个遭到质疑就是因为不够简洁,加上泛用性的问题)。也就是说最能够让人接受的公理证明就是足够简短加上泛用性(前者可以从证明当中看出来,后者的话只能是放到实际运用当中进行比照了,而这个是没完没了的,仅从这个层面来说公理不存在证明也可能是对的)。

为什么会要求足够简短(泛用性是必然的这就不提了),个人以为这与人的心智还有感官之间的关系密不可分。我们的视觉、听觉、嗅觉、触觉和味觉是“接收器”对于现实世界的一切都有接受,所有接受进来的信息通过大脑进行处理。这之间的关系相信没人会否认,然而这里可能恰恰是最重要的地方,这是形而下与形而上之间的关系。五感直接接触到信息并且反馈进大脑——比如说一眼就能看见盘子里两个苹果,你就知道那是“两个”苹果。哪怕瞎子聋子,也能靠触觉摸出来,然后在脑子里得出一个“公理”,这个“公理”的感觉就是这么直白简洁:“这(感受到的客体)就是XXX”。

那么在逻辑当中,对于公理的证明判定越接近,我们越倾向于接受它,并且认为足够“真”。(这里必须说:二者之间的界限依然是很模糊的,有可能一步就能跨过去,也同时存在着无穷多个定理在这之间徘徊。)

实际上说白了,这个行为本质上依然是一个带着“怪圈”特性的行为,通过“形式系统”来展现“抽象概念”。但是我们都知道实际上在形而下和形而上之间存在着模糊的,甚至可能并不存在界限。形而下当中的一切都可以凭借五感捕捉到信息,比如:我们的交流语言,语言当中蕴含的信息,信息可以构成抽象概念,并且在形而上的意识当中自行发展变换。这种看起来稀松平常的“日常”行为当中,其实已经进行了很多很多次的形而上与形而下之间的来回转换了。(我们游离于其中不可自拔,然而这不代表我们始终在其中徘徊。书中后面引入的禅宗理论,乃至从此可以拓展到佛学、道学等等内容当中去)。

二:同构与歧义

1:清晰而又模糊的形式系统

    “pq定理很像是加法……是什么东西使我们那样想的呢?我的回答是:我们在pq定理与加法之间看到了同构。在导言中,‘同构’这个词的定义是保存信息的变换。现在我们可以深入到那个概念中去,从另一个角度看一看。‘同构’这个词的适用情景是:两个复杂结构可以互相映射,并且每一个结构的每一个部分在另一个结构中都有一个相应的部分。这里‘同构’的意思是:在各自的结构中,相应的两个部分起着相类似的作用。

这里引用书中的定义,那么只要足够复杂的系统全都可以符合这个条件。这里我首先联想到了语言学方面的内容,在语言学分支当中:语法学、语义学、社会语言学、理论语言学等等附属科目在研究过程中应该都应用到了“同构”这个概念。但这个“同构”并不仅仅只是一种“研究工具”,而应该是一种必要的“研究工具”。两门不同语种之间,通过语法等多方面的对比可以加深对于两种语言之间的学习——比如说:中英语之间的语法对比,主谓宾的对应结构等等。(然而本人英语水平差的不行,就没及格过,这里大谈这个稍微有点厚颜无耻23333)。

但是随后想到,并不仅仅只是单一的一门语言学:“语言学被狭隘的定义为研究语言的科学方法,但是我们可以从各种方面对语言进行探究,并与其他几种智能学科有关联,这些学科也影响了对语言学的研究。例如,符号学是一个相关的领域,它涉及对一般标记与符号在语言中和语言外两者的研究。文艺理论家们研究语言在文学艺术中的研究。另外,语言学还从不同的领域中得到借鉴,像是心理学、言语-语言病理学、信息学、计算机科学、生物学、人体解剖学、神经学、社会学、人类学以及声学。——引自维基百科‘语言学’词条。”也就是说不限于任何一个范围,只要符合两个已知结构足够复杂,并且可以对照,就可以产生“同构关系”。

发展到今天,学科之间的“同构”关系使得互相之间越来越深入渗透到了彼此之中,单一一门学科到达不了极限,要走向更高的境界就不得不深入到其他学科当中。到这里不得不回想起来过去历史,至少在西方文明当中,学术分科应该是从亚里士多德开始的,而在他之前统称都是“哲学”——虽然叫哲学但是各自研究偏重还是不同的,先哲们的哲学各自有不同的侧重。这些可能是之后亚里士多德开始分科的源头,然而发展到了今天,各个学科之间似乎又重新开始融合起来了。(这个“怪圈”还真是无处不在的感觉……)。

但是各个学科之间还是千姿百态的,哪怕是简化到两个形式系统之间,表现出来的样子也可能是完全南辕北辙的。所以“同构”并不是特指,而是一个模糊意义上的泛指。“同构”两个形式系统最大的缺陷在于它的模糊性,不精确,没有一个清楚的贯通逻辑。然而反之这恰恰也是它最大的优点。套用书中原话来说:“认识到两个已知结构的同构关系,这是知识的一个重要发展——并且我认为,正是这种对于同构的认识在人们的头脑中创造了意义。”

也就是说当我们面对一个未知的复杂系统的时候,我们会在学习中自己寻找自己认知范围内的“同构”系统来对应,从而得到对这个全新系统的意义。书中随后给出了一个对应例子,也就是把pq系统对应到加法上面去:

                   p  对应   加号

                   q  对应   等号

                  —  对应   1

                 —— 对应   2

               ——— 对应   3

作者这么说:“这种符号与词之间的对应关系有一个名称:解释。”但是在更高层次上面,“真理”和定理之间是存在着对应关系的,但是必须经过解释,否则这种对应关系看不出来。反过来说,通过解释可以找到各种形式系统之间对应关系,从而找出“同构”并且找到意义。这部分的内容其实作者在书里已经说得非常明白了,这里直接把原文搬过来:“当遇到一个你一无所知的形式系统,并且假如你希望去发现它某种隐藏的含义时,你的问题就在于如何给它的符号赋予一种有意义的解释——也就是,通过某种方式,使得在真陈述和定理之间出现一个高层次的对应。在找到一组联系于这些符号的合适的词之前,你可能需要在黑暗里进行一番摸索。这与破译密码或者释读用一种失传的文字写成的铭文非常相似。释读的唯一方法就是建立在以知识为基础的猜想上的试错法。当你发现一个好的选择,一个‘有意义’的选择时,突然间就觉得顺当了,并且工作的速度大大加快了。不久,件件事就各就各位了。”这段原作者的解释,联想到之前pq形式系统的题目,感觉上就非常直观了。

回过头来说,运用形式系统最熟练的不就是数学家么,当然也不仅仅只是数学家,如上面的例子来看,包括考古学家、语言学家、哲学家等等都在运用类似的方式。作者认为数学家的方式就是:“建立一个形式系统,它的定理同构地反映一部分现实世界。”这就是为什么上一篇笔记当中,那些个悖论会让数学家这么如临大敌的原因了。

但是实际上这种解释并不是那么简单的,它存在着有意义的解释和无意义的解释。同样书中给出了比喻,当然这个意义要看针对的对象。而实际上真正要面对的歧义性是非常大的。比如把—对应成“苹果”,q对应成“马”,p对应成“幸福”(这是书里给出的例子)。上面的字符串就变成了一连串的:“苹果苹果马苹果幸福苹果苹果”。这玩意大概马会很喜欢,但是对于人来说没有任何意义。因为这样的系统和现实之间没有什么同构关系。

这里还是想说说个人的一些见解:这里实际上给出了非常严格的定义前提,这个“有意义”本身可能就不太说得清楚,虽然书中已经给出了明确的解释:“同构存在于定理与现实的某一部分中。”但是我们所面对的这个“现实”本身可能就没有一个明确的定义——就如同公理不可证的问题。那么也就是说如果没有了前提限制的情况下,同构关系实际上可以放到好几种对应当中去。而一旦当两个对应碰到一起去的时候,问题就出来了。(比如有些时候碰到了一个全新的系统,最麻烦的问题就在于存在复数个说得通的解读,比如对于《伏尼契手稿》的解读就让语言学家们头疼了很长时间。再比如文学创作当中,文学评论得出的多种结果)。当然这仅仅是个人的肤浅愚见……

后面果然涉及到了语言系统的问题,作者这里提出了二者的关系,形式系统和语言系统二者之间的意义不可以混为一谈。简单来说语言具有主动意义,也就是说根据得到的意义可以反过来产生新的生成规则,而新规则可以生成新的意义如此循环下去。而在形式系统当中的生成规则是起到约束作用的,不能够因为对于意义的 不同解读而产生新规则。形式系统的意义本身就是一个过渡桥梁,它必须有明确的限定的范围,从可以让我们通过它来明白其所“表达”的事物。

下一段的解释当中,作者就提出了“双重意义”,pq形式系统当中不存在唯一解,双重意义来源源自于现实世界本身就存在着互相同构的情况。(pq系统除了可以解读为加法以外也可以解读为减法,甚至可能乘除法也能解释得通)。

形式系统像是把非常具体复杂的现实简化抽象化,从而便于理解,同时它也具备着现实世界的特性(有可能是简化版)。可以看作是一个对照现实世界的模拟模型,它最重要的部分在于对定理的定向化解释,把一个一个四处乱飘的“定理”给定下来,通过生成规则和定理的确定可以帮助我们认识现实世界的一切。类似于一个工具,我们自身所能延展的范围有限,对于这个现实世界的认知也是如此,而借由形式系统,我们可以扩展出去,获得更多。然而形式系统并非都能帮到忙,其本身恰恰存在着严重的限制和缺陷。(公理部分的不可证问题就足够让整个辛辛苦苦建立起来的形式系统立刻被废弃掉,这里还得反复提及之前的数学危机就是这个原因——因为数学就是在用形式系统运作的。)

2:形式系统(数学)与现实世界

pq系统,是作者总结出来的,一个基于现实的一部分的形式系统。一组无意义的符号来表示和模拟一部分的现实,所以形式系统的重点和意义从来不是表面的部分,而是背后引申的意义。构建形式系统都必须在已知的范围之内,这看起来更像是一种概括,把那些抽象概念具体化并且总结出来,让其具有可操作性(把推理的思维过程加以机械化,这部分在前面的导言里关于数学逻辑的那部分就提过了。)

但是实际上形式系统的建立还是需要很多前提的,而大部分前提都是假定的,需要从这个不定性的现实世界当中假定一些东西出来,它们可以作为构筑起形式系统的基础(这个假定并不是凭空的,而是假定的对象大多具有不确定性,假定的只能是一个比较广泛的相对来说结果明确的前提)。如书中原文所说:“现实的哪一部分能够用一组支配无意义符号的形式规则来加以模仿。现实世界的一切都可以变为形式系统吗?从一个很广的意义上说,回答可能是肯定的。比如,人们可以设想,现实世界本身只不过是一个非常复杂的形式系统。它的符号不是在纸上移动,而是在一个三维空间里运动,它们是组成一切事物的基本粒子。(这里包含着一个隐含的假定,即:物质的可分性是有尽头的,因此,基本粒子这个词是有意义的。)‘印符规则’是物理法则,它告诉人们如何根据给定的时刻从给出的所有粒子的位置和速度,得出属于‘下一个’瞬间的一组新的位置和速度。所以这个宏伟的形式系统的定理,就是粒子在宇宙历史中不同时间的可能布局。唯一的公理是所有粒子在‘时间是开始’时的原始布局。这是一个非常宏伟的设想,然而它只有纯粹的理论意义。另外,量子力学(及物理学的其他部分)也使人们对于上述概念所含的理论价值产生了某种怀疑。

 形式系统对比现实世界依然是一个高度概括的模仿系统,借此我们可以用来了解一直范围内的运行规则并且得到这个“范围内的”真理。但是形式系统当中的运行始终是机械化的,作为人的心智,我们始终会跳出去从外面的视角来看形式系统。所以任何形式系统在试图对照现实世界的时候,有限可证和无限客体之间的问题始终层出不穷。

在形式系统内部,我们可以藉由生成规则、判定等等简化一些步骤并且可以得到一个确切的答案。乘法的诞生之于加法就是这样一个感觉。当加法的数量超出了可操作范围的时候(书里比比喻12乘以12,用加法来12加12加12加12加12加12加12加12加12加12加12加12等于?)利用规则简化操作过程,扩大了可操作范围。我们不需要去写十二遍12然后挨个加过去,用乘号这一个符号就可以简略当中的大部分步骤了。并且我们得到的依然是简单明了的数学等式。

这个例子比较简单明了,同样的问题也适用于数学的其他部分,比如数论部分。用一个形式系统的符号去匹配所有的自然数(非负整数),怎么保证每一个自然数都符合我们经过形式系统操作之后得出的定理?

说到底,上面全部的,复杂操作、推理等等,都是试图以有限的部分去推导出无限的部分。所有的概念、定义、定理都必须要有一个确定的“假设”前提,帮助我们从“混乱的”现实世界当中确立秩序——这里必须强调所谓的混乱并非毫无规则,而是“无限不可证”。形式系统就像是构建一栋屋子,屋子内的一切都可以被掌控住,并且确保万无一失,而且可以朝着屋子外面有一定的延伸。然而仅限于这个范围之内了,很多规则和定理一旦跳出形式系统,其意义会立刻消失,或者被别的什么东西替代掉。

数学作为秩序的代表,在表层可以为我们提供坚实的基础。然而一旦深入其中,不确定性又会慢慢浮现出来(始终可以对应到上一篇笔记当中数学对悖论的圣战里面去)。而且数学研究的对象,实际上和现实当中我们使用的数不完全是一回事。正常的加法说:“1加1等于2”,但是现实当中我们可能是调侃或者是强调些什么,有些时候会说“1加1等于3”(一个男生加一个女生……)。虽然故意利用这种违背基本算数的规则,其实只是借此要描述一些别的什么东西。当然我们都知道,这两个加法里的“1”不是一回事。

通过上面举的这个例子,我们就发现,数学本身并不是只维持在自身的领域当中。虽然数学作为多门学科领域的基础,它自身却也是建立在自然语言的基础之上的。我们虽然用一些概念固定下来了一部分“现实”——想象一下在阿拉伯数字出现之前,人们怎么描述“数”?古希腊时代没有“数”的概念只有“量”的概念。在“一二三四五六七……”这些概念诞生之前,我们面对的是什么?怎么描述这些概念?我们虽然从最早开始(很早很早,可以说是古老的时代了),也是仅仅只是凭借感觉,我们就意识到了一些规则,意识到了一些规律,“数”是遵守这些规律的,并且也证明了一部分(参考毕达哥拉斯学派)。可是实际上,作为一种“实在”数并不守规矩。书中问道:“一旦你决定了要把所有的数论装入一个理想的系统,是否真的有可能彻底地做到这一点呢?数是否是那么整洁,那么有规律,像结晶一样,以至于形式系统的规则能彻底地把握它们的性质?”这个问题,作者用艾舍尔的一幅画作为一个类比:

《释放》艾舍尔作(石版画。1955)

可这些东西,这些确定的部分我们是怎么得到的?那些陈述是怎么被确定为真实的正确的?欧几里得开始一直到后来那么多数学家,他们怎么确定自己掌握的是真实合理令人信服的?他们依靠的是“推理”,实际上面对无穷个“结果”,挨个证明是不可能的事。那么并不需要囊括每一个“结果”,只需要一个明确的推理,并且在有限范围内证明这个推理是正确的,那么就可以推广到无穷的范围内。

不需要把每一个“数”都来一遍,只需要假设一个“N”它可以代入任意数,然后根据我们获得的假设,把任意数代入“N”进行证明。书中给了一个证明“任意数都存在一个比它大的素数”,证明过程当中只举了有限的几个例子,但是代入“N”这个非特定数之后,证明就有了一个“自动化”的运行能力。随机代入任何一个数,证明都可以运作起来判断出是否符合要求。欧几里得的证明正是这种概念的典范,之后的数学都建立在此基础上,被称作是”真正的数学“。简洁而优美,通过有限的几步骤,能把概念推广到无限当中去(悖论式美学的体现)。

真的要深究的话,依然和前面阿基里斯和乌龟的对话一样,虽然推理步骤是确定的,但是最后的判定结果确实不可证,当中可能还镶嵌着无数个推理步骤。但我们相信这个小结果,因为推理步骤足够令人信服,而只要接受了推理,就会接受结果。

前面的推理步骤之间关系明确,虽然最后一步推理和判定结论之间关系并不明确,但是却有足够的暗示。通过前面之间步骤的联系,让我们接受这个不明显的“暗示”,从而跨过了“无穷”的鸿沟。

 “假如我们越来越仔细地研究欧几里得的证明,我们就会看到,它是由许许多多小的——几乎是无穷小的——步骤组成的。假如把所有这些步骤都一行一行地写出来,这个证明会难以置信的复杂。对于我们的头脑来说,把许多步骤压缩在一起形成单个句子是最为清晰的。”

三:模糊的界限

一些随想,来自于书中或者来自于书外

最近人工智能的话题似乎开始升温了,有些时候,看到探讨关于人工智能的问题的时候常常会有一个疑问。人工智能让人着迷的地方在哪里?我们希望得到人工智能的目的何在。有很多关于这些话题的的探讨,也有很多的演绎:比如最近的《西部世界》、《底特律·变人》,更早的还有很多很多大家都耳熟能详。

很多涉及人工智能的探讨的时候,常常需要一个超越人类的视角来描述,或者至少也需要一个站在人类至高点的视角来谈论这些问题。我觉得这是可以理解的,因为只有这样的视角才会让人觉得相对来说客观一些。只是肯定有人注意到了,并不存在足够强大的权威能够只发出一家之言,也不存在一个完美到让人觉得无懈可击的言论。当看法和判断被表达出来的时候,就会有人站出来问为什么?或者问一点别的,因为总有人无论如何也要质疑这个结果,就像是上面二部创意曲对话里面乌龟和阿基里斯的讨论。

这样的分歧总是避免不掉,但现在看来似乎并不是没有道理的。我们常常现实就是存在着“两极矛盾”——越是往外发展,就必须越深入、越是清晰就越是模糊。所以这可能就是我们不得不接受的本质,在面对人工智能这类问题的时候就显得越发明显。越是站在人类视角之外看的清晰,本身却是需要足够深入人类的本身(而这种时候,越是深入的视角往往却又会有失偏颇,而足够广阔的视角则会忽视个例之间的不同)。人工智能某些意义上也成为了我们的镜像,我们想要模仿自身的智能,因为最不了解的恰恰是自身。而面对人工智能的态度时也是如此,经常会看见这样的态度。有人强调人工智能和人类绝对不是一样的,可是人工智能偏偏是我们智能的再现。

当然很多时候我们提到智能这个概念的时候,会把人类这一层模糊掉,因为我们希望探讨足够客观的“客体”。可是通过上面形式系统的了解,我们发现了主客体的界限模糊到几乎看不见。“专注常常会让我们顾此失彼,而成功又需要专注”,像是一句废话。一个包含了所有方面信息的言语载体会变成一句废话,因为交流只需要有限的信息(一个问题只需要一个或者几个答案,想要确定就只需要一个明确的结果)。无限个选择放到面前来的时候,没有一个人能够作出选择,因为瞬间就会迷失了自己的目标。套用上面的形式系统,没有了确定公理的情况下,这个形式系统的生成规则和生成定理立刻成了一堆没用的东西。

意义来自于有限面对无限之时,以有限的载体承载无限。也许这里可以谈到一下阴阳八卦。

阴阳八卦给人最深的印象首先是“算命”和“风水”,这两个可能算是应用最广的了,所以给人的印象最深刻。然而有心人如果试着用上述的形式系统来套一下周易的六十四卦,肯定会有让他非常激动的发现。这是一个高度浓缩概括的符号系统,可以反映出现实世界的很多很多(多少说不准,因为是无限的)。在西方也有人研究,他们为之倾倒,为知着迷。其魅力绝不仅仅只是来自于它自身的古老。

 “阴阳”学说在构成上可以算是起点,只用两个符号:阴爻和阳爻作为基础一阴一阳。这首先就已经高度的概括了“现实”中的矛盾性。随后的卦“系统”(八卦,六十四卦)根据叠加的数目不同,演变出近乎于无限地情况。而单独一个阴爻或者阳爻的符号拿出来本身没有什么意义,而正因为如此,它可以作为一切的基础(有人曾经试着把物理学基本粒子的内容和这个对上号,然后发现非常契合)。然而也有的人觉得正因为它足够的”模糊“所以什么都能够对得上号,反而对此嗤之以鼻,认为其毫无意义。

 当然所有的判定都有道理,或者都没有道理。就像我们看到的,在最后的判定和前面列举的推理之间存在着“无限”个分割点,走不到头。只不过也许这里就是作为心智最伟大的部分,它跨过了“无限”的过程,直接到达了终点。心智能做到到的这个(下判定)甚至被认为是‘存在’的起源,我们又想要透过“神秘”的面纱理解其本源,又不自觉地为这种“神秘”所倾倒。《集异壁》当中说到的那种“美学”也许就是这个“东西”,所以它的美来自于“根源”,我们才会在音乐、数学、等等当中都发现“同构”的美。

四、后记

现在确定自己基本上算是书里每一个篇章都需要写一篇笔记,第三篇笔记的内容跟着书里的内容,一直在形式系统和推理上面打转,所以看起来可能会很枯燥乏味,甚至不知所云。其实在写的时候也会觉得特别的艰难,还好旁边的音乐帮助自己继续写了下去。写到这里的时候,正在放的音乐是《西部世界》的ost:Exit Music(For a Film)——就是第一季的时候,福特博士最后演讲时候的背景音乐。        

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